巧解应用题掌握五大解题步骤轻松解决一块

　　英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的牛吃草问题：
　　有一片牧场，已知饲牛10头，20天把草吃完；若饲牛15头，则10天把草吃完；
　　饲牛25头，问几天把草吃完？
　　解答此题的难点在于每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化，也就是
　　说这类问题的工作总量是不固定的，一直在匀速变化。
　　因此，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量。牧场上原有的草
　　总量是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为我们假设它是匀速生长，所以每
　　天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量，
　　问题就会迎刃而解。
　　一、基本知识点
　　1、含义
　　牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场，就是牛在牧场上吃草而草又不断生长
　　的问题，它涉及到三种数量：原有的草、新长出的草、牛吃掉的草，人们把涉及
　　到这三种量的应用题，叫作牛吃草问题，也就牛顿问题。
　　2、特点
　　（1）随着时间的增长，每天有新的草产生，草的数量总是在不断变化；
　　（2）草的增长速度不变，即每天新长出的草量不变；
　　（3）草场原有草的量不变；
　　（4）每头牛每天的食草量不变。
　　3、口诀
　　每牛每天的吃草量假设是份数1，A头B天的吃草量是几，M头N天的吃草
　　量又是几，大的减去小的，除以二者对应的天数差，结果就是每天长草量。
　　原有草量就是A头B天的吃草量减去B天乘每天长草量。
　　将未知吃草量的牛分为两个部分：部分牛先吃新草，个数就是草的比率；有
　　的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
　　4、数量关系
　　（1）每天长草量（对应牛的头数吃得较多天数对应牛的头数吃得较
　　少天数）（吃得较多天数吃得较少天数）；
　　（2）原有草量牛头数吃的天数每天长草量吃的天数；
　　（3）吃的天数原有草量（牛头数每天长草量）；
　　（4）牛头数原有草量吃的天数每天长草量
　　5、解题思路
　　（1）假设1头牛1天吃草量为1；
　　（2）求出每天长草量；
　　（3）求出牧场原有草量；
　　（4）求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量每天长草量消耗原有草量）；
　　（5）求出可吃天数。
　　6、变式
　　（1）在漏水的船里舀水；
　　（2）蜗牛在井里边爬边滑；
　　（3）往漏水的水池里放水；
　　（4）检票口检票；
　　二、一张思维导图归纳总结
　　三、经典应用
　　例1牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供10头牛吃20天，
　　可供15头牛10天，问可以供25头牛吃几天？
　　【分析】第一步、假设每头牛每天的吃草量为1份。这样可以求出10头牛
　　20天一共吃掉的青草总量是1020200（份）。在这200个单位中既包括了牧场
　　原有的青草量，也包括了在这20天中新生长出的青草量。同样地，我们也可以
　　求出15头牛10天吃掉的青草总量是1510150（份）。在这150个单位的青草
　　中，既包括了牧场原有的青草量，也包括了在这10天中新生长出的青草量。因
　　为牧场上原有的青草是一定的，并且青草每天生长的速度相同。
　　第二步、求出每天长草量。我们根据上面求出的20天的青草总量和10天的
　　青草总量，就可以求出每天青草的生长量，即（200150）（1510）5（份）。
　　第三步、求出牧场原有草量。知道了每天新生的青草量以后，就不难求出牧
　　场原有的青草量是200520100（或150510100）（份）。
　　第四步、求出每天实际消耗原有草量。25头牛每天要吃掉25份的青草，由
　　于每天长出新草5份，所以实际每天原有的草量只减少了25520（份）。
　　第五步、求出可吃天数。我们只要算出原有的草量每天吃掉20份，几天可
　　以吃完，这就是25头牛吃完牧场全部青草所需要的时间
　　【解答】假设每头牛每天吃的青草量为1份，
　　每天长草量：（10201510）（2010）5（份）
　　原有草量：1020520100（份）
　　25头牛每天吃掉原有青草的数量：25520（份）
　　吃完全部青草所需的时间：100205（天）
　　答：可以供25头牛吃5天。
　　例2因天气渐冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少
　　已知牧场上的草供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧
　　场可供多少头牛吃10天？
　　【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在每天匀
　　速减少，但是，我们同样可用类似的方法求出每天减少的量和原来的草的总量。
　　【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为1份。
　　第二步、求出每天减草量。
　　每天减少的草量：（335246）（65）21（份）
　　第三步、求出牧场原有草量。
　　牧场上原有的草量：（3321）5270（份）
　　或（2421）6270（份）
　　第四步、求出牛10天吃草量。
　　10天吃草量：270211060（份）
　　第五步、求出牛头数。
　　牛头数：60106（头）
　　答：这个牧场可供6头牛吃10天。
　　例3有一片青草，每天生长的速度相同已知这片青草可供15头牛吃20天，
　　或者供76只羊吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草，那么8头牛
　　与64只羊一起吃，可以吃多少天？
　　【分析】本题中既有牛又有羊，为了便于通过比较所吃的总草量来求出每天
　　生长的新草量和原有的总草量，我们可以先根据已知条件一头牛的吃草量等于
　　4只羊的吃草量，将已知条件15头牛吃20天转化成60只羊吃20天，
　　统一以羊的吃草量为标准，同时把条件8头牛与64只羊一起吃相应地转换
　　成96只羊一起吃，这样就可以按照例1的解题思路来解答。
　　我们也可以统一以牛的吃草量为标准，那么76只羊吃12天就转换成
　　19头牛吃12天，条件8头牛与64只羊一起吃也相应地转换成24头
　　牛一起吃然后再按照例1的解题思路来解答。
　　解法1第一步、假设每只羊每天的吃草量为1份。
　　第二步、求出每天长草量。
　　每天长草量：（154207612）（2012）
　　（1200912）8
　　36（份）
　　第三步、求出牧场原有草量。
　　原有草量：76123612480（份）或者
　　60203620480（份）
　　第四步、求出每天实际消耗原有草量。
　　8头牛（32只羊）与64只羊每天吃掉原有青草的数量：
　　（4864）3660（份）
　　第五步、求出可吃天数。
　　8头牛（32只羊）与64只羊吃的天数：480608（天）
　　解法2第一步、假设每头牛每天的吃草量为1份。
　　第二步、求出每天长草量。
　　每天长草量：（152076412）（2012）9（份）
　　第三步、求出牧场原有草量。
　　原有草量：1520920120（份）或者
　　76412912120（份）
　　第四步、求出每天实际消耗原有草量。
　　8头牛与64只羊（16头牛）每天吃掉原有的青草数量：
　　8644915（份）
　　第五步、求出可吃天数。
　　8头牛与64只羊（16头牛）吃的天数：120158（天）
　　答：8头牛与64只羊一起吃，可以吃8天。
　　例4一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，
　　可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛
　　吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？
　　【分析】牛吃草问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加
　　解答时，要抓住这个关键问题、也就是要求出的要和每天增加的量各是多少。
　　【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为1份。
　　第二步、求出每天长草量。
　　每天新生的的草量：（17301924）（3024）9（份）
　　第三步、求出牧场原有草量。
　　原有的草量：1730930240（份）
　　第四步、假设4头牛没有死亡总吃草量。
　　原有牛总吃草量：2409（62）42320（份）
　　第五步、求出牛头数。
　　原有牛头数：320（62）40（头）
　　答：这群牛原有40头。
　　【反思】解决本题时，应用了牛吃草问题的基本解答方法。但在数量发
　　生变化时，可采用假设法使问题由难变易。
　　四、巩固练习
　　1、有一牧场，已知养牛54头，6天把草吃尽；养牛46头，9天把草吃尽如
　　果养牛42头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？
　　2、有一块草地，草匀速生长，这块草地可供16头牛吃20天；或者可供80
　　只羊吃12天；如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与20只
　　羊一起可以吃多少天？
　　3、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。
　　问多少头牛5天可以把草吃完？