初中数学教学融入数学文化的途径与策略

　　作者董涛（福建师范大学数学与信息学院教授）
　　来源福建基础教育研究，2020（05）：5861。本文获作者授权发布，作为数学文化征文比赛的参考文献供读者参阅。
　　摘要：数学文化的融入，主要靠合法的边缘性参与。初中数学教学融入数学文化的主要途径有三种：以培养自主自律的学习习惯为切入点，教学生初步学会学习数学，培养初步的数学品味。培养数学学习习惯的策略有激发内在动机，着重培养数学学习的专注力与自律性；学会学习数学的策略有学会听数学课、学会数学阅读、学会数学思考；培养数学品味的策略有洞察数学大概念，明确初中数学基本问题，初步学会鉴赏数学题。
　　关键词：数学文化；融入途径；融入策略
　　文化，简而言之就是人们的行为习惯、思维方式与价值观念。我们习以为常的家族聚居，是儒家文化下的行为习惯。中庸之道是儒家文化下的主要思维方式之一，立德立言立功是儒家的主要价值追求之一。数学文化，主要表现为思维方式与价值观念，也就是2017年版高中课程标准所说的数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成与发展和在社会中的作用融入数学文化，就是逐步变成数学家那个样子与数学家具有相同的习惯、品性、思维方式与价值追求。小学阶段，数学文化主要体现在行为层面数学学习习惯。初中阶段，数学文化的表现演变为较为自主、自律的学习习惯与初步学会学习数学，也孕育着初步的数学品味。文化的学习与融入，主要是浸润性的潜移默化。如在某个地方生活久了，潜移默化地带有了这个地方的口音，或者是合法的边缘性参与形成默会知识。如学生跟着教师听课，观摩教师的示范，遵照教师的指令做练习作业，部分学生在学会数学的同时，逐渐学会了学习数学，初中生在进一步形成学习习惯时，也潜移默化地初步养成专注、自律、严谨等品质。
　　一、融入数学文化的切入点：激发内在动机，培养自主自律的学习习惯
　　小学已经培养了初步的数学学习习惯，如上课常规、作业常规，这些学习习惯以他控为主，自控性差。小学生缺乏维持这些学习习惯的内在动机。小学生的数学学习，主要是满足自己的好胜心，维持与教师、家长的亲密社交氛围，避免教师家长的批评。一些小学生对算得快感兴趣，主要是为了满足好胜心，不是真正对数学感兴趣。小学生活泼好动、注意力集中时间较短，自律性差，缺少数学学习所需要的专注、深思等条件，很难形成对数学的真正兴趣。小学生上课时数学思维的自主性、主动性较弱。主要是跟随教师的讲解，被动回应教师的提问，思考的时间短，程度浅，需要观察、操作、计算、讨论辅助思考。课堂讨论自控性差，经常跑题。
　　初中需要培养自主自律的学习习惯，这是融入数学文化的切入点。初中课堂容量加大，课堂节奏加快，作业明显增多。教师课堂组织教学的时间显著减少，家长辅导作业也有心无力。学生的学习责任显著增强，需要增加学习的自律性。学生进入初中，心智逐渐成熟，有能力养成较为自主的学习习惯。教师要有目的、有计划地培养学生的自主学习数学的习惯。第一，教会学生记笔记。学会记笔记是自主学习的首要表现之一。初中数学课，需要适当记点笔记便于课后复习。大部分学生不会记笔记。部分学生埋头记笔记忽略了积极思考，部分学生只顾听课忽略了记笔记。这都是缺乏学习自主性的表现。教师需要以自己为榜样，示范何时记笔记，怎么记笔记，如何兼顾听课与记笔记，课后如何整理笔记。讲课中，适时指导学生怎么兼顾听课与记笔记，展示优秀笔记供学生模仿，课后及时、个别反馈学生的笔记，帮助学生养成听课记笔记的习惯。第二，帮助学生养成自主参与课堂讨论的习惯。自主发起课堂讨论或一对一交流，自主决定何时参与课堂讨论，也是学习自主性的一种表现。这种自主性的表现需要课堂讨论规范的支撑。教师要建立课堂讨论规范，示范、指导深度课堂讨论的技巧，激发、支持学生主动、适时参与课堂讨论，提高讨论的有效性。第三，教师要示范、指导、反馈作业规范，尤其是利用草稿辅助构建思路，督促学生及时交课堂、家庭作业，帮助学生养成主动及时做作业并加以订正的习惯。第四，教师要鼓励学生课后寻求个别答疑，指导学生如何向教师、同学、家长、其他社会资源（如家教、网络资源等）主动寻求答疑。这也是学习自主性的表现。第五，教师要指导学生形成主动梳理知识，及时复习的习惯。习惯的养成，离不开教师的示范、指导、反馈矫正。在这过程中，教师就是数学文化的化身。学生融入数学文化，就是逐渐变得与教师的行为、品性、思路一致。教师要表现得稚化一些，通过自己的榜样作用，利用学生的向师性，使学生通过模仿，合法的边缘性参与，形成适应初中数学学习的自主自律习惯。
　　自主自律学习习惯的形成与维持，需要内在动机的支撑。首先，要激发数学兴趣。兴趣源于好奇。教师基于数学的发展脉络，激活知识生长点，易于激发学生的好奇心。例如，由数的运算抽象到整式的运算，学生源于好奇会感兴趣。如计算20034005，用字母代替数，令a100，b1，变成计算2a3b4a5b，学生会自主发现整式加法运算规则。学生会对这样的抽象感兴趣，会进一步搜索自己的算术知识，扩展出新的整式运算、新的代数式运算对象，如分式及其运算规则。不断地提出扩展问题会保持这种兴趣，有利于培养学生的自主学习习惯。其次，帮助学生确定合理的学习目标。经由不大的努力就能达成的目标，有助于学生经常体验成功，建立自信，形成对自主学习习惯的正反馈。再三，塑造可依赖的学习支持系统。对于一时解决不了的问题，教师要鼓励学生寻求学习支持系统的个别帮助。学习支持系统的及时响应，有利于强化学生的自主学习习惯。最后，指导学生形成正确归因，形成爱拼才会赢的学习信念，帮助学生培养自律的学习习惯。
　　初中特别要培养数学学习的专注力与自律性。对数学持续的兴趣会形成专注力，易于引发学生好奇心的高认知水平学习任务，容易激发学生持续的学习兴趣。围绕着主题基本问题的系列扩展问题，是高认知水平学习任务的一种。如图形的性质是一个基本问题。由三角形的性质，会扩展出等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质等系列问题。这些滚雪球式的问题串会塑造学生的专注力。教师要设计塑造专注力的学习环境，来培养学生的专注力。如在课堂与课外设计系列高认知水平学习任务，课堂留出充分的思考时间，有针对性地指导与反馈，师生、生生间有针对性地深度交流，便利的图书资源、网络资源及社会上的针对性学习支持系统。专注力带来自律。适量且多少有些挑战性的作业、灵活的选做作业，及时的作业批改与指导，也便于形成学生的自律性。
　　二、融入数学文化的着力点：教学生初步学会学习数学
　　学会学习，是学习自主性的体现。学会学数学，是融入数学文化的着力点。
　　（一）要教学生学会听课
　　认真听讲是主要的数学学习方式。小学生主要是被动跟随教师思路，想得少、浅。初中生要学会在教师启发下自己想出一些知识。初中生有了一些数学知识基础，有点思维能力。当思路被激活了，自己就能想出一些知识。想出来的知识与教材或教师讲解的结论验证就行了。这有助于上课的松紧结合。自己想出来的，速度快，记得牢，有高潮体验，也是学习主动性的一种体现。学生在自己主动思考基础上，预见到学习的关键点与难点时，去认真听教师讲解，有疑惑时主动寻求教师答疑。教师需要激活知识生长点，设计有效情境，提出恰当问题，多举恰当样例，比较不同样例与思路，优化学生思路，借此激活学生思路，教师讲解时要适当留白或布置思考任务，留给学生自主思考的机会与时间。教师要教会学生听课时记笔记，支持学生边听边想，通过计算、画图、操作辅助听课。
　　（二）教学生初步学会数学阅读
　　初中生需要阅读教材、读懂试题、阅读课外书，需要有初步的数学阅读能力。数学有独特的阅读方式先有大致思路再验证性阅读、自主探寻有效信息。阅读过程中，要根据初步阅读识别问题类型，调用相关图式形成自己的大致思路。再依据自己大致的思路，寻找材料中的关键信息并做出解释，印证自己的思路或者否定自己的思路形成新思路。例如，己知二次函数的图像经过非坐标轴上一定点p（q，s）在阅读过程中，首先识别出是定点问题，调用定点问题图式，定点的坐标是常数，形成大致思路：不论m取何值时，该定点p（q。s）的横、纵坐标与m无关，于是主动去寻找证据，验证p（q，s）的坐标与m无关。选择考虑原表达式，整理为，做出新的解释，当时，p（q。s）的坐标与m无关。这就印证了自己的思路，算是读懂了题意。教师要通过出声想、讲解、指导等方式，有目的有计划地训练学生的阅读能力。
　　（三）教学生初步学会数学思考
　　学会初步的数学思考，是初中生自主学习能力的体现，也是融入数学文化的主要策略。学会数学思考，就能够自主提出一些数学问题，发现一些数学结论，构造一些数学证明（解释），提出一点数学观点。
　　1。掌握基本思路。
　　初中数学知识的发现、发展、论证、解释，主要运用几种思路。初中生在教师指导下，不断延续运用基本思路，在学会数学知识的同时，也学会了基本思路。如对零指数幂的学习。教师通过对负数产生过程的回顾，指导学生领悟出负数产生的缘由。负数产生的原因：一是理论上的需要，源于减法运算的不对称（必须要求被减数大于减数）；二是实践也提出了像23？这样的问题（存在性）；三是像借贷、净胜球等现象也给出了启发性的算法，打开了理解之门。类似地，教师提出同底数幂除法运算法则的不对称现象（除法运算法则多了被除数指数大于除数指数的限制），激发学生思考解除这个限制，扩展同底数幂的除法法则，通过引导学生考察像这样一些个例，学生会发展出零指数幂的概念。进而在教师指导下，进一步发展出负整数指数幂、分数指数幂等系列概念。学生在学习基本思路的过程中，开始只能独立做部分思考，需要教师不断示范、指导。教师在教学设计时要想清楚数学知识的启发性、存在性、可理解性、合理性与有效性，以便指导学生形成完整基本思路。在教学时要通过针对性复习，展示思维过程，激活学生思路，帮助学生想到问题、想出结论、做出解释论证。教师也要给学生留出足够思考时间，不能为了赶进度自己讲出来。
　　2。要学会质疑
　　质疑既是一种科学品质，也是数学思考的一种重要方式。质疑可以发现数学问题，有助于找到新思路得到新知识。如上述对同底数幂的除法运算法则的质疑。再如，自然数来自计数。很多学生在小学认为，零表示没有，不会存在比没有还小的数，从而不愿接受负数。只有质疑计数是产生数的唯一方式，引导学生转换视角，才能接受负数比零小。这时，教师要提供替代经验，激活学生思路，帮助学生想过去，重组知识，融会贯通。
　　3。要学会反思
　　学生在思考后要及时评估自己的学习状态，总结思考经验。如自己最初是怎么想的，同学与教师又是怎么想的，谁的思路更好？别的思路我为什么没想到？我擅长的思路是什么？鉴于我的特点，我能学会另外的思路吗？哪里我没想过去，应该怎么想过去。哪里我走了弯路，我觉得今后应该怎么想更好。这样的反思，会帮助学生根据情境与自身特点选择和学习策略与方法，帮助学生学会学习。为教会学生反思，教师要做一些示范供学生模仿，要留出时间、捕捉时机，给学生提供反思机会，也要指导、帮助学生学会反思。
　　三、融入学校文化的落脚点：培养初步的数学品味
　　文化的核心，是价值追求。数学的价值追求，在初中主要表现为数学品味。数学品味就是鉴赏、洞察对学生来说最有价值的数学，或者在数学知识中发现对学生来说最有价值的维度。进入课堂的数学知识，是在上千年的过程中，为不同的目的创造出来的。很多数学知识有不同的用处，其作用在数学史上也多次改变。很多数学知识在数学中的重要性发生了改变，数学家对它们的看法也有改变，面对众多的数学知识与每个知识的众多维度，教师与学生需要数学品味帮助选择重点学习哪些知识、打开这些数学知识的哪个维度。这也是融入数学文化的途径之一。初中生的初步数学品味，主要体现在初步洞察初中数学的大概念，初步明确初中数学的基本问题、初步鉴赏数学题。
　　帮助学生体验、初步洞察数学的大概念。数学大概念是数学品味的宽泛基础。数学的大概念是指向数学核心的一个概念、问题或者主题，是相关知识背后的数学本质，它作为理解数学的关键，能够帮助学生把各个知识点连接起来，有力地解释数学知识，提供对数学的深刻理解与洞见，具有较大的迁移价值。比如算术中的运算律、代数中的符号、几何中的证明与变换、函数中的变化规律。学生自身不容易发现大概念，需要教师揭示出来。如式的运算及其运算法则，就是用符号代替数转化来的。学生不容易发现，需要教师有目的地设计教学，揭示出来。学生悟出这个道理，就能像滚雪球一样，利用自己的算术知识，发展出更多的运算对象与运算法则。教师在教学时要利用大概念启发学生的思考，帮助学生选择重点内容，帮助学生利用大概念组织知识结构，帮助学生利用大概念整合认知结构，初步塑造学生的数学品味。
　　帮助学生明确初中数学的基本问题，基本问题是数学品味的主要表现。基本问题是指向学科核心，在后续学习中重复出现的问题。它是学科大概念的表现。能够吸引学生，打开学生的思维，是学习学科核心内容所必须。能够促进学生对特定主题的深刻理解，激发知识间的联系与迁移。如初中几何中的图形性质。它指向几何核心，在几何学习中重复出现，是几何大概念变换和证明的典型表现。能够引起对变换和证明的持续探究，激发学生对先拥知识和过往经验进行有意义的联系，吸引学生从不同视角切入探究，形成不同观点，用不同方法论证自己的观点，激励学生对学科大概念与过往经验进行持续反思与重组，为迁移到其他图形的探究中创造机会。激发学生对不同图形性质的深度思考、热烈讨论，形成新的理解，基本问题帮助学生关注数学核心，学习最具价值的知识，选做最有价值的数学题。塑造学生的数学品味。学生自身不易洞察基本问题，需要教师在教学时，明确揭示基本问题，持续围绕着基本问题组织教学，帮助学生在潜移默化中形成关于基本问题的默会知识。
　　教会学生初步鉴赏数学题。鉴定出好的数学题，是数学品味的集中体现。数学教育在上百年的历史上，积累了汗牛充栋的数学题。学生需要学会鉴赏数学题，选择合理的数学题，训练自己的数学能力。数学教育史上创造了很多经典的数学题，这些数学题，体现了数学的大概念，属于基本问题，可推广和一般化，对当时的社会具有针对性，培养了大量的数学人才。有些数学题目，随着数学的发展与数学家认识的转变，变得没有多少价值了，理应退出课堂。为了提高考试区分度，一些教师以创新为名，在学科交会处命制了一些数学题，部分新命制的数学题可能欠妥当。如这题：
　　如图1，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）。设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？
　　该题是几何函数知识的拼盘，牵强附会地凑在一起。函数是研究变化关系与变化规律的，是通过变化关系研究变化规律。核心是根据已知的自变量变化规律和两变量间的变化关系，研究因变量的变化规律。图像是研究函数变化规律的工具。该题在函数图像上取几个点，构造几何图形，探讨图形形状。它不是函数的基本问题，也不是运用几何的基本方法，更不是数学大概念的表现，在数学史上从来没有出现过，这与融入数学文化背道而驰。融入数学文化，就是要学着与数学家做同样的事。数学家没有考虑过的问题，依据专长理论，显然没有学习、练习的价值。文化选择教育内容，数学文化选择数学内容，传承、规范、整合数学的价值取向。教师要具有鉴赏数学题的能力，布置给学生能够传承数学文化的典型数学题。学生每天在做教师布置的数学题中，潜移默化地形成鉴赏数学题的默会知识。针对教辅书中良莠不齐的数学题，教师需要以数学大概念和初中数学的基本问题为标准，有针对性地给学生示范如何鉴赏这些数学题，帮助学生初步学会鉴赏数学题，加强数学品味，事半功倍地学好数学。
　　参考文献：
　　〔1〕教育部。普通高中数学课程标准（2017版）〔S〕。北京：人民教育出版社，2018：10。
　　〔2〕J莱夫，E温格。情景学习：合法的边缘性参与〔M〕。王文静，译。上海：华东师范大学出版社，2004：2。
　　〔3〕章建跃。研究三角形的数学思维方式〔J〕。数学通报，2020（4）：110。
　　〔4〕教育部。义务教育数学课程标准（2011版）〔M〕。北京：北京师范大学出版社，2012：2。
　　〔5〕格兰特威金斯，杰伊麦克泰格。追求理解的教学设计（第二版）〔M〕。上海：华东师范大学出版社，2016：6。
　　〔6〕格兰特威金斯，杰伊麦克泰格。追求理解的教学设计（第二版）〔M〕。上海：华东师范大学出版社，2016：121。
　　〔7〕胡谊。专长心理学解开人才及其成长的密码〔M〕。上海：华东师范大学出版社，2006：74。