小乐数学科普数学家如何使用同调来理解拓扑译自量子杂志

　　作者：KelseyHoustonEdwards2021511译者：zzllrr小乐2021513
　　起初，拓扑似乎是数学中一个非常不精确的分支。它是对可以弯曲，拉伸和压缩而没有限制的黏糊状面团形状的研究。但是拓扑学家确实有一些限制：他们不能在形状中创建或破坏孔。（这是一个古老的笑话，拓扑学家无法分辨咖啡杯和甜甜圈之间的区别，因为它们都具有一个孔。）虽然这似乎与代数的严格性相去甚远，但是一种称为同调的强大观点可以帮助数学家连接这两个世界。
　　孔一词在日常用语中有许多含义，气泡，橡皮筋和碗都有不同类型的孔。数学家对检测特定类型的孔感兴趣，可以将其描述为封闭的空心空间。一维孔看起来像橡皮筋。形成橡皮筋的那条弯曲的线是闭合的（不同于松散的细绳），并且是空心的（与硬币的周长不同）。
　　推广此逻辑，二维孔看起来像空心球。数学家正在寻找的孔的种类（封闭的和空心的）可在篮球中找到，但在碗或保龄球中却找不到。
　　但是，数学运算的难度很大，虽然以这种方式思考孔可能有助于将我们的直觉指向橡皮筋和篮球，但它的精确度不足以符合数学定义的要求。例如，它没有清晰地描述较大尺寸的孔，并且无法对计算机进行编程以区分封闭空间和空心空间。
　　密歇根州立大学的何塞皮雷亚说：对孔的定义不好。
　　因此，同调（Homology）从物体的边界推断出物体的空洞，这是一个更精确的数学概念。要研究对象中的孔，数学家只需要其边界的有关信息。
　　形状的边界是其外围点的集合，并且形状的边界始终比形状本身低一维。例如，一维线段的边界由两端的两个点组成。（点被认为是零维的。）实心三角形的边界是空心三角形，由一维边组成。类似地，实心金字塔以空心金字塔为边界。
　　如果将两个线段粘在一起，它们相遇的边界点将消失。边界点就像悬崖的边缘，它们几乎要掉落边外了。但是，当连接边时，原来边缘上的点现在已安然位于中心。另外，两条线总共有四个边界点，但是当它们粘在一起时，得到的形状只有两个边界点。
　　如果可以附加第三条边缘并闭合这个结构，创建空心三角形，则边界点将完全消失。每条边的每个边界点都相互抵消，从而空心三角形没有边界。因此，每当一组边形成一个环时，边界就会抵消。
　　环圈向后环绕自身，围绕着中央区域。但是，仅当中心区域是中空的（如橡皮筋）时，环才会形成孔。在纸上绘制的圆形成一个环，但不是圆孔，因为中心被填满了。包围实心区域（非孔类型）的圆环是该二维区域的边界。
　　因此，孔具有两个重要的严格特征。首先，孔没有边界，因为它形成封闭的形状。其次，孔不是其他物体的边界，因为孔本身必须是中空的。
　　该定义可以推广到更高的维度。二维实心三角形由三个边定界。如果将几个三角形连接在一起，则某些边界边会消失。当四个三角形排列成一个金字塔时，每条边都被另一个抵消。因此，金字塔的墙没有边界。如果该金字塔是空心的即它不是三维实体块的边界则它将形成一个二维孔。
　　为了找到特定拓扑形状内的所有类型的孔，数学家构建了一种形成同调的脚手架，被称为链复形（chaincomplex）。
　　通过将不同尺寸的块粘合在一起，可以构建许多拓扑形状。链复形是提供形状装配说明的图。形状的各个部分按维度分组，然后按层次排列：第一层包含所有点，第二层包含所有线，依此类推。（还有一个空的第0层，仅用作基础。）每个层都通过箭头连接到它下面的层，该箭头指示如何将它们粘在一起。例如，一个实心三角形链接到形成其边界的三条边。
　　数学家从其链复形中提取形状的同调，后者提供了有关形状的组成部分及其边界的结构化数据，而这正是描述每个尺寸的孔所需要的。使用链复形时，查找10维孔和1维孔的过程几乎相同（除了10维孔比1维孔更难以可视化之外）。
　　同调的定义足够严格，计算机可以使用它来查找和数孔的个数，这有助于确定数学中通常需要的严格性。它还允许研究人员将同调用于越来越流行的研究中：分析数据。
　　这是因为可以将数据可视化为漂浮在空间中的点。这些数据点可以表示物理对象（如传感器）的位置，也可以表示抽象空间中的位置（如对食物偏爱的描述），附近的点表示具有相似口感的人。
　　为了从数据中形成形状，数学家在相邻点之间绘制线。当三个点靠在一起时，它们将被填充以形成一个实心三角形。当大量的点聚集在一起时，它们会形成更复杂和更高维的形状。填充数据点可赋予它们纹理和体积它通过点创建图像。
　　同调将这个模糊的形状世界转化为严格的代数世界，这是数学的一个分支，研究特定的数值结构和对称性。数学家在称为同调代数的领域研究这些代数结构的性质。他们从代数中间接了解有关数据原始拓扑形状的信息。同调有很多变种，所有这些都与代数有关。
　　同调是一种熟悉的结构。我们对此有很多代数知识，麻省理工学院的玛吉米勒（MaggieMiller）说。
　　同调提供的信息甚至可以解释数据的不精确性：如果数据仅发生少量移动，则孔的数量应保持不变。并且，当处理大量数据时，孔洞可以揭示重要的特征。例如，时变数据中的循环可以指示周期性。其他尺寸的孔会显示数据中的簇和空隙。
　　宾夕法尼亚大学的罗伯特格里斯特（RobertGhrist）表示：真正强大的方法是拥有健壮的方法，并能提取定性特征。这就是同调给你的。