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中考数学压轴题分析圆幂定理的应用

8月12日 颜如初投稿
  【中考真题】
  (2020荆门)如图,AC为O的直径,AP为O的切线,M是AP上一点,过点M的直线与O交于点B,D两点,与AC交于点E,连接AB,AD,ABBE
  (1)求证:ABBM;
  (2)若AB3,AD245,求O的半径
  【分析】
  题(1),如图,易得MAE为直角三角形,而ABBE,可以得到一些直角三角形斜边中线的模型。
  利用等角对等边即可得到ABBM。
  题(2)需要求O的半径,但是发现半径或直径都没有在一个三角形里面。
  所以肯定需要适当构造辅助线,这样才能解答。
  但是题目给的条件AB、AD都没有什么特别的地方。因为无法直接使用求出其它的线段。
  不过AB与很多线段都有等量关系,所以可以得到BM与BE的长度。
  那么现在怎么办呢?
  把已知线段的长度代入,易得ABMDAM,即可得到AM、AE的长度。
  那么怎么求半径的长度呢?
  何不直接连接OB?
  设半径为r,那么利用这个黄色中的相似,即可得到半径r的长度。
  当然,本题也可以连接BC,先求出直径AC的长度,那么半径就自然知道了。
  【答案】解:(1)AP为O的切线,AC为O的直径,
  APAC,
  CABPAB90,
  AMDAEB90,
  ABBE,
  AEBCAB,
  AMDPAB,
  ABBM
  (2)连接BC,
  AC为直径,
  ABC90,
  CCAB90,
  CABPAB90
  CPAB,
  AMDMAB,CD,
  AMDDC,
  AMAD245,
  AB3,ABBMBE,
  EM6,
  由勾股定理可知:AE(EMAM)185,
  AMDC,EAMABC90,
  MAECBA,
  MECAAEAB,
  6CA(185)3,
  CA5,
  O的半径为2。5
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