在数的发展中一开始只有自然数,再进一步,则是复数的出现。然后动机就是在高斯成功的将复数转换成高斯平面以几何表示后能不能有一种数,可以在三维,或更高维度来表示。
简介
在数的发展中一开始只有自然数,再进一步,则是复数的出现。然后动机就是在高斯成功的将复数转换成高斯平面以几何表示后能不能有一种数,可以在三维,或更高维度来表示。
但是当复数出现后,为什么只有2元数才会成立,又是哪些因素造成这种限制?或许,这些是值得我们去深思熟虑的。
发展
三元数被提出
Gauss将复数()成功转移到高斯平面上,使复数得以用几何方法表示,并且满足“模法则”。
复数模法则:
令
在复数()发展出来后,Hamilton提出了一个疑问:既然
有复数的存在,那是否会也会有一种数()可在三维空间表示?但是,经过了几次的证明后,最后却只发现了四元数,而未发现三元数的存在。
问题的出现及转机
为什么三元数会不存在呢?其实三元数,它已被定义为一个具有加减法、数乘运算的数。
加减法:
数乘运算:
但是,在定义三元数的乘法时,却遇到了不可逾越的障碍。例如:乘法不能满足“模法则”和普通运算定律(如交换律等)。而且无法明确的订出ij与ji的关系和其值。
(一)模法则:
“模法则”的存在,否定了“三元数”。为什么呢?
假设三元数,符合“模法则”则
但是勒让得的三数平方和定理,说明了只要是8n7的数,都无法表示成三数的平方和。
当0(mod8)或1(mod8)或4(mod8),三个数的平方和可以是0(mod8)、1(mod8)、2(mod8)、3(mod8)、4(mod8)5(mod8)、6(mod8),因此无法是7(mod8),所以当模相乘为8n7时,找不到满足“模法则”。
(二)ij...
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