上界(upperbound)是一个与偏序集有关的特殊元素,指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。若数集S为实数集R的子集有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界。
简介
上界,是与偏序集有关的一个特殊元素。指偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。设是偏序集,,若对所有都有xRa,则a称为B在偏序集中的上界,简称B的上界,记为。若a是B的上界,对于B的任何上界c,都有aRc,则a称为B的上确界(或最小上界),记为。
实数集R上的定义
考虑一个实数集合M。如果有一个实数s,使得M中任何数都不超过s,那么就称s是M的一个上界。
用数学符号表示为:对xM,都有xs,则称s是M的上界(upperbound)。
确界原理:若R的子集M有上界,则必有上确界;若集合M有下界,则必有下确界。
上确界定义:设S是R中的一个数集,若数R满足
(i)对xS,有x,即是S的上界;
(ii)对aa,即是S的最小上界(leastupperbound),则称为数集S的上确界;
下确界定义:设S是R的一个数集,若数R满足:
(i)对xS,有x,即是S的下界;
(ii)对,x0S,使得x0,即是S的最大下界(greatestlowerbound),则称为数集的S的下确界;
由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界,非空有下界数集必有下确界同理。
设S为一非空有上界数集,即成立。取数集B为S所有上界的集合,ARB。则:
由取法可知,故。,故,因此。
。
A中任何元素都不是S的上界,。
又B中任何元素都是S的上界,。
故必有。
由戴德金定理可知,要么A中有最大值,要么B中有最小值。设这个值为,并且,恒成立。
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