燕尾定理:在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,有
SAOBSAOCBDCD
SAOBSCOBAECE
SBOCSAOCBFAF
因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一,是一个关于平面三角形的定理,俗称燕尾定理。
验证推导
证法1:下面的是第一种方法:利用分比性质(若abcd,则(ab)b(cd)d,b0,d0,)
注:(ab)babbbab1,
(cd)dcdddcd1,
abcd
(ab)b(cd)d
ABD与ACD同高
SABD:SACDBD:CD
同理,SOBD:SOCDBD:CD
利用分比性质,得
SABDSOBD:SACDSOCDBD:CD
即SAOB:SAOCBD:CD
命题得证。
(由此可得:若X:Yab,X1Y1则(XX1)(YY1)ab。其中Y、Y10,YY1且YY1)
证法2:相似三角形法。
已知:ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。
求证:AECE证明:
过点O作MNBC,,交AB于点M,AC于点N;
过点O作PQAB,交BC于点P,交AC于点Q。
MNBC
AMOABD,ANOACD
MO:BDAO:AD,NO:CDAO:AD
MO:BDNO:CD
AD是ABC的一条中线
BDCD
MONO
PQAB
CPOCBF,CQOCAF
PO:BFCO:CF,QO:AFCO:CF
PO:BFQO:AF
CF是ABC的一条中线
AFBF
POQO
MONO,MOPNOQ,POQO
MOPNOQ(SAS)
MPONQO
MPAC(内错角相等,两条直线平行)
BMRBAE(R为MP与BO的交点),B...
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