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无穷小(由词目及其释义等构成的中文知识性百科条目)

3月11日 于曂 投稿

  无穷小量是数学分析中的一个概念,用以严格地定义诸如“最终会消失的量”、“绝对值比任何正数都要小的量”等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中,无穷小量通常它以函数、序列等形式出现,例如,一个序列a(an)ninmathbbN}若满足如下性质:对任意的预先给定的正实数varepsilon0,存在正整数displaystyleN使得akN时必定成立;或用极限符号把上述性质简记为limntoinftyan0则序列a被称为ntoinfty时的无穷小量。在非标准分析中,无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”,这些数比零大,但比任何正实数都小。前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理,而“非标准”的无穷小量利用他们,罗宾逊和其他人轻松地证明了所有传统定理和部分新定理,而19世纪愚笨的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的声誉,也纠正了我们在思考运动变化的一点偏差。引文〔参2〕提到的罗宾逊(AbrahamRobinson,一译鲁滨逊)是非标准分析的开创者之一〔参3〕,无穷小量的新定义正是由他给出。直观地说,一个数称为无穷大的,如果它比1,11,111等任何自然数都要大,而一个数称为是无穷小的,如果它不等于零而且它的倒数是无穷大。但这种数的存在与否,甚至能不能合法地称作一种“数”等,都是需要进一步考虑的本质问题。   无穷小量   初学者应当注意的是,无穷小量是极限为0的变量而不是数量0,是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0,称一个函数是无穷小量,一定要说明自变量的变化趋势。例如   在   时是无穷小量,而不能笼统说   是无穷小量。也不能说无穷小是   ,   是指负无穷大。   无穷小量通常用小写希腊字母表示,如、、等,有时候也用(x)、(x)   等,表示无穷小量是以x为自变量的函数。   为   或...(全文)

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