全网最详细笔记张益唐北大讲解火热出炉！本质上已证明零点猜想

　　编辑：编辑部【新智元导读】关于零点猜想问题，大海里的针我没捞到，但海底地貌我探得差不多了。
　　一支马克笔，一张小白板。
　　刚刚，张益唐教授现身北大，在B站的直播平台上，给广大网友上了一堂大师级数学课。
　　授课内容大家都知道了，就是最近张教授刚刚取得的新突破：朗道西格尔零点猜想问题。
　　这是张益唐亲自对自己前不久的那篇论文的全面解析。
　　全程40分钟，无废话无尿点，硬核知识拉满，信息密度极大。
　　文字实录
　　首先，我得介绍一下这个问题本身。
　　虽然我的论文已经挂到aXiv上了，但还是得介绍一下：什么叫朗道西格尔零点呢？
　　对于这个狄利克雷L函数，L（s，）的原始定义是这样的：
　　分子是（n）这个值，分母就是n的s次方。
　　此时，我们只考虑s是个实数的时候，也就是说s1的时候，它不等于0。那么s1的时候，就是说比1稍微小一点，它有没有可能等于0？
　　这个问题因为牵扯到很多数论的东西，所以很重要，但始终没有人能够解决。
　　只考虑L（s，）不等于0的情况
　　如果s比1稍微小一点，这个分母是比较可控的，c是个常数
　　这是一个猜想，我们说这个猜想比黎曼假设要弱得多，至少是对L函数的黎曼猜想（广义黎曼猜想）。广义黎曼猜想是说这个S的实部大于12的话不等于0，但就只是很接近1的时候不等于0。
　　这个猜想本质上说就是朗道西格尔零点问题。
　　这个问题，就是要证明这样的一类零点是不存在的（尤其是实零点，虚零点还容易一点）。
　　那么现在我们能做到什么程度呢？应该说本质上我们至少证明了这样一个东西
　　这个2024就像孪生素数里面的情况一样，是可以改进的。
　　前两天消息刚传出来的时候，很多人不是做数学的，所以不理解这个朗道西格尔零点问题解决的是什么，甚至有人以为就是证明了黎曼假设是错的。
　　这个我得说一句：我可没有这个本事（笑）。我只是在一定范围内部分地证明了黎曼假设应该是对的。如果说我推翻了黎曼假设，那应该是没什么人会相信。
　　在这篇论文第二节的结尾，我引进了三个proposition，都是不等式。这三个不等式合在一起后，如果说朗道西格尔零点存在的话，就可以得出一个矛盾。
　　而这个讲起来就是一个非常非常复杂的东西，要讲清楚也不容易，但是我可以讲一讲，这里面它的一个基本思路，讲一下它最后的归结。最后就是归结到这样一个事情上
　　怎么会归结到这个事情上呢？
　　对于一个有限的实数序列n，怎么样证明它并不是非负的？
　　这就是要去证明其中有一个（至少有一个）n是小于0的。
　　说起来这个问题是什么呢？有点不着边际。
　　但事实上很有意思，在数论中，特别是解析中，很多东西可以归结到这么一个问题。
　　于是我们就需要发展一个技巧，来证明这个东西是不等于0的。
　　第一个例子，我们就说一个偶数N（一个比较大的偶数），我们用（n）定义这个素数的特征函数，都是定义在正整数上。
　　如果n是素数，（n）等于1，如果n不是素数，（n）就等于0。
　　就可以得到
　　我们说这个序列会什么样？
　　一般情况下，它可能等于1，也可能等于0，但它有没有可能是负的呢？
　　很明显如果（n）是负的，它必须等于1，而且他负的充要条件是（n）和（Nn）都是素数。这时候n才可能是负的，正好等于1。
　　很明显，N永远是等于n（Nn），也就是N就是一个素数加上另外一个素数。
　　就是说如果在这个序列（1nN）里，有某一个n是小于0的话，充要条件是N是两个素数的和。
　　所以哥德巴赫猜想最后就可以归结到我们来构建这样一个有限序列，这里头是不是有这么一个小于0的数？如果有的话，哥德巴赫猜想就是对的。
　　那么，是不是还有别的问题也是这样呢？
　　其实假如我们对孪生素数猜想给出一个弱结果，那么也会是这样的，也就是造成这么一个n。
　　它这个定义也是
　　如果这里面有两个是素数，那么n就严格小于0；如果只有一个素数，那么就等于0；如果没有就大于0。
　　所以在这样一个序列里面，我们可以人为地把n的范围给它确定，里面有没有负的？这就是我们在孪生素数研究下取得的突破。我们的出发点就是这个东西。
　　话再说回来，怎么样去证明某一个n是小于0，我们就给出了一个很简单的数列，哪怕里面有10000个数，我们也可以写出来这里面是不是有一个是负的，这很简单。
　　但我们这里考虑的都是理论性的问题，N是一个很大的数，怎么样去定义这个东西等于0。
　　这是第一个例子。实际上它既包括了哥德巴赫猜想，也包括了孪生素数弱结果的研究。
　　第二个例子是一个纯公式的例子，它跟我要做的事情是相关的。
　　如果有一个Assumption，我们就假定（n1）nc
　　也就是说零点的间隔比c要大，那么我们也可以把它归结成
　　其中，f（na）f（nb）它一定是正的。
　　为什么这么说呢？因为随便一个n，从n到nc之间，他一定没有零点。而na和nb一定在这段之间，因为f是连续函数，所以他们的乘积一定是大于等于0的。
　　所以如果我们要证明assumption是不对的，可能有零点的间隔比c要小。如果我能够证明有一个n是负的，只要证明它0，那这个assumption就错了。
　　如果我想证明的话，我就得去弄。
　　那么究竟我们需要怎么处理这个问题呢？
　　要证明有限的实数序列不是非负的，里面至少有一个是严格小于0的，怎么去证明呢？
　　我们常用的处理方法是这样：
　　我们找一组新的实数序列｛yn｝，它要满足两个条件。第一：yn0，第二个：xnyn0。只要能找到这样一组yn，这问题就解决了。
　　那这里头肯定有一项是严格小于0的，但yn是大于等于0，那么xn必须是小于0的。这就解决了传统要去做的事情。
　　可是怎么去选yn呢？这就牵扯到整个筛法发展的历史了。
　　最早是挪威数学家Brown在一个世纪前，应该在1917、18年的时候他找到了一组yn。这组yn的表述是很复杂的，但满足这类条件。
　　然后他用这个条件能推出99，在当时来讲是不可思议的，是一个惊人的构造。
　　后来，到了20世纪40年代末，另外一个挪威数学家叫塞尔伯格，他想得就比较简单，他说干脆我就去构造一组实数序列zn，zn是实数就行，没有任何限制。
　　然后把yn取成zn平方，于是第一个条件就自然满足了实数的平方必然是大于等于0的。
　　于是问题就变成了，能不能得出下式小于0？
　　这里要牵扯到孪生素数猜想最近的进步，特别是梅纳德最近的贡献（他最近得了菲尔兹数学奖）。
　　xn的取值与孪生数有关，我们希望这里面至少有一个是负的，然后是求和。
　　在我之前有三个数学家，他们找到一组zn，能够证明这个和非常切近0，并且可以做到让任意小。
　　但是小于0这一步他们怎么也跨不过去。
　　而这里的主要障碍就是，他们要用到素数在等差级数里的分布，那里头有个限制就是有一个exponent指数，它不能超过12，否则余项就控制不住。
　　于是他们就跨在这个边上，用他们的话来说差一根头发丝就能跨过去了，但这个头发丝就没跨过去。
　　然后再下一步是我的工作：
　　我的工作从单独意义上来讲，在等差级数分布的问题上，应该是第一次突破了指数等于12的界限，就是说可以把这个指数取到比12再大一点。但我用的zn基本上还是他们引进的。
　　后来梅纳德就把这个问题改进了一大步，他引进了一种新的zn，最后能够证出这个孪生素数的弱形式，最后我们都是归结到这样一个不等式。
　　下面我们再回到朗道西格尔零点，
　　我们也去构造像例2中实的连续函数，如果两个点中间没有零点的话，它们就是同号，它们的乘积应该就是非负的。
　　在论文的引理2。3中，我给出了这么一个东西，那么我就是要证明这么一个事情
　　如果存在朗道西格尔零点，就推出
　　我想证明这个东西
　　是错的，也就是说我能证明
　　这个里面有一个是负的话，就可以了。
　　我花了很长时间，去证明下面这个结果是小于0的。
　　我找了很多很多这样的东西，发现一些非常有意思的事情：我没能直接证明它是小于0的，但我发现对很多zn它接近0。
　　它会小于一个乘上一个东西，而这个可以尽量小，我发现很多这样的zn。所以就差一点。
　　当孪生素数猜想出来时，有人说我是大海捞针。但实际上不太对，孪生素数实际上我没有去捞什么针。
　　但是去找这个zn，我确实是在大海捞针。
　　我试了很多很多东西，包括用到像变分法啊，用积分方程去找最大特征根啊，最后都是有一个问题：你可以在不同角度去找zn，找出来以后都是小于一个乘上一个数字，但这个你就是跨不过去，有点像我在做孪生素数时那样。
　　那最后是怎么去解决的呢？
　　这里我就想提到我在一开始给出的第一个公式。我的一个最初的想法，就是最关键的一步，我为什么能达到一个这样的证明。
　　第一步，我找到两组序列，都可以写成是这种形式
　　这两组序列我都可以证明（这里还是把它写出实数形式）
　　这个东西我不能证明它小于0，实际上严格算它就是不小于0，但可以证明它非常接近于0。
　　同时呢，我也可以证明对于cn和dn，下面这个结果也是接近于0的。
　　而且呢，证明这两个关系式虽然看起来结果是一样的，但证明的方法是完全不一样的，是两种完全不同的treatment。
　　于是，我们又有一种方式证明这个东西接近0，但不能证明它小于0。
　　那么这两组序列有没有可能发生冲突呢？有冲突，就能给出一个矛盾。于是我就用了这样一个关系式。
　　出发点我们还是假定xn大于等于0。
　　然后我们用这样一个关系式，也就是一开始写的那个。
　　因为这个n是非负的，n我们就不需要取绝对值了。
　　我们再用这个关系式取一个绝对值，这里可以全部都取绝对值，减号就变成加号了。
　　我们有这样一个关系式，但是我们可以证明，实际上可以假定n是非负的，我们可以用柯西不等式来估计下面这个的上界。
　　最后我们发现我们得到一个矛盾（算这个和不如用柯西不等式），我们发现算这个东西是不对的，左边应该是比右边的更大，于是用这个方式就推出矛盾来了。
　　大家有兴趣的话可以翻译一下我这篇文章，在第二节最后，我是用三个proposition就把它给弄下来了，然后剩下的就是去证明那三个proposition。
　　我们考虑一下数论的历史，一开始我们总是有这样的问题，要去构造一个yn。第一个条件是，这个yn必须是非负的，或者什么样，然后它乘以n，加起来要小于0，要去构造这样一个yn。
　　最早是Brown在1718年，用默比乌斯函数的组合来构造出这样一个东西。
　　后来自从Selburg之后，yn就取成zn的平方，这个东西一直沿用下来。
　　当时我在做孪生素数猜想，我们也知道，yn等于zn平方，它只是一个能够保证它大于等于0的充分条件，但不是必要条件，还有没有别的形式？
　　有很多人想过，但目前为止没有人想出来（yn不是这个平方的形式）。
　　在我在这里，似乎有一种新的办法（更复杂），实际上我是引进了4个序列。
　　最后如果这些n都是大于0，我能推出矛盾来。
　　今天我就先讲到这儿，这个东西作为介绍性的，我也只能讲得比较初等一点。
　　PS：如有错误，欢迎在留言中指正。
　　论文浅析
　　在这篇最新的论文中，张益唐教授提出了两个定理。
　　第一，对于L（1，）的估计：
　　第二，可能存在的西格尔零点不大于：
　　其中，c1和c2都是正实数，且与D无关。
　　论文地址：https：arxiv。orgabs2211。02515
　　此前，张益唐教授证明朗道西格尔零点猜想的论文已经广泛流传，由于全篇涉及解析数论等硬核知识，对于广大网友的理解门槛还是相当高的。
　　论文公布之后，来自知乎、B站、微博等媒体平台的各路专业人士和UP主的解读也为数不少了。
　　比如B站知识区UP钰子一对这篇论文结论的初步解读：
　　他的看法是，在假定张益唐教授的证明是正确的情况下（因为论文目前尚未经同行评议），这篇论文确实是距离证明真正的零点猜想最近的一次突破性成果。
　　下面是真正的朗道西格尔零点猜想：
　　注意非零域的范围，最后一项的指数为1。
　　张益唐教授这次在论文中成功证明的定理1和定理2，其中2是1的推论：
　　可以看到，定理2的最后一项的指数为2024，而原始的零点猜想的指数为1。
　　换句话说，这是目前关于朗道西格尔零点猜想问题上，已证结论和待证的终极目标之间，距离最近的一次。
　　张益唐教授在文末表示，这个2024的指数值，可以取得更大一些，但目前按照论文中的思路，可能取不到1。
　　除了热心网友的粗浅解析，来自山东大学的解析数论专家在张益唐教授谈朗道西格尔零点猜想研究的新突破中，也对张益唐教授这次的工作进行了专业角度的解析。
　　由于全体模D的狄利克雷特征（Dirichletcharacter）的适当线性组合，可以表示出模D算术级数的计数函数。因此，狄利克雷L函数（DirichletLseries）与算术级数中的素数分布问题密切相关。
　　对于固定的狄利克雷特征，黎曼函数的解析性质大多容易推广到相应的狄利克雷L函数上去。比如当特征是复特征时，其L函数与黎曼函数有类似的非零区域：
　　但是，当特征是实原特征时，在区间
　　内至多可能存在一个一阶实零点，这里c是一个适当的正常数。
　　张益唐教授在最新预印本论文里证明了，模D的实原特征L函数在区间
　　内没有实零点，这里c是绝对实效正常数。如果把这里的2024换成1，就得到原始形式的朗道西格尔零点猜想。
　　专家指出，2024虽然大于1，但在数学意义上，与1并没有实质性的差别。
　　朗道西格尔零点猜想
　　1859年，德国数学家黎曼在论文论小于给定数值的素数个数中，首次提及这个猜想。
　　黎曼发现，质数的分布跟某个函数有着密切关系：
　　这个公式中，s是复数，可以写成sabi这样的形式（a是s的实部、b是s的虚部、i则是根号负一）。
　　当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的函数改写为：
　　当s为负偶数（s2，4，6）时，黎曼函数为零。这些s的值，就称为平凡零点。
　　不过，此外还有另一些s的值，能够让黎曼函数为零，它们被称为非平凡零点。就是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。
　　到了这里，黎曼本人也无法证明了。
　　不过他做了一个猜测：黎曼函数所有非平凡零点的实部都是12，或者说黎曼函数在12x1这一区域内没有零点。这就是黎曼猜想。
　　随后的数学家们，在前人的基础上继续前进。
　　为此，数学家狄利克雷引入了狄利克雷L函数。
　　对于这个函数，也有一个猜想：狄利克雷L函数在12x1这一区域内没有零点。这就是广义黎曼猜想。
　　倪忆在文章千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道西格尔零点猜想的论文中解释道，如果（n）的取值都是实数，那么L（s，）在
　　里最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数。这个可能存在的零点被称为西格尔零点。而朗道西格尔零点猜想则断言，西格尔零点是不存在的。
　　更确切地说，存在一个正实数c，使得对于任何D和相应的实特征，L（x，）在
　　时都不等于0。
　　倪忆表示，朗道西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形，但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。
　　所以一旦证明了朗道西格尔零点猜想，就可以取得很多新突破，简化和加强很多经典数论结果。
　　特别鸣谢：
　　普林小虎队千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道西格尔零点猜想的论文
　　https：mp。weixin。qq。comsOgOsgp2wklSw86LQSnpuAA
　　山东大学张益唐教授谈朗道西格尔零点猜想研究的新突破
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　　钰子一科普张益唐关于朗道西格尔零点猜想的文章！他取得了突破性的进展，结论十分漂亮！
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