古希腊数学的另一个高潮芝诺悖论和圆面积公式

　　数学家绝大多数都非常低调，除了数学方面的惊人之举，在其它领域有好的表现不多。阿基米德可能是数学家中最有人格魅力，最有气场的一位。只可惜对自己的气场太过自信，面对虎视眈眈的罗马士兵，竟然回答等我思考好这个问题再跟你走，最后铸成悲剧，死在了罗马士兵的屠刀下。
　　大家好，伟岗今天给大家谈谈阿基米德的故事，虽然已经过了几千年了，这些故事还是有闪光之处。
　　文章开始伟岗还是感谢各位朋友同学的鼓励打赏！谢谢了！
　　阿基米德可能是文献流传至今最多的古希腊科学家，这也许跟他的名气有关。他的：《圆的度量》，：《论球与圆柱》，《抛物线图形求求积法》，《论螺线》，《平面图形的平衡或其重心》等都传到了今天，这个非常不容易。江湖上流传他的故事更加千奇百怪，似乎阿基米德是个神人。
　　不过从数学上讲，阿基米德最大的贡献应该是严格证明了圆面积公式。这个证明可以说是人类历史上比较早有记录的，描述运动变化物体的例子，而且证明非常完美，堪称希腊几何的典范，所以其意义非常重大。
　　我们前面说过，数学在微积分之前，最大的局限性就是连续变化的物体性质没有办法描述。这是因为，一方面数字是离散的，另一方面也许跟我们的思维方式有关。
　　人类虽然有眼睛可以观察到连续变化的事物，但是思维就不可能在每一个瞬间都有记录。这是什么意思呢？这个意思就是说，我们的思维是间断的，每个时间点只能想一件事情，不可能有连续的思维模式。我们看电影之所以是连续的图像，就是利用所谓视觉暂存，思维来不及处理很多信息，只能暂缓，这样间断的图像就变成连续了。反过来也一样，连续的图像，我们其实是把它变成间断的图像处理的。所以，从人的思维角度出发，事实上是人想象出来连续事物的连续变化，并不是我们思维真正赶上了连续的事物。
　　从思维这个意义上讲，我们数学怎么突破这个间断于连续矛盾的瓶颈呢？这个困扰了数学家差不多上千年。问题最佳的描述也是古希腊人给出的，那就是所谓的芝诺悖论。
　　芝诺悖论有四个故事，第一个是所谓二分法悖论。说得是，你想从A点到B点，很明显你必须先到达A，B的中点C点。但是你想到达C点，又必须先到达A，C的中点D点。这样循环下去，由于中点有无穷多个，你似乎永远也到达不了B点，而是在无穷个中点之间游荡！当然，这是不可能的，你最终肯定是到达了B点，除非你中途停下来。这样就产生了一个悖论，问题出在哪里呢？
　　第二个故事就是我们前面提到过的，阿喀琉斯跟乌龟赛跑的故事。按照这个悖论，虽然明显阿喀琉斯比乌龟跑得要快的多，但是只要乌龟在起跑时领先哪怕只有1米，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！
　　芝诺是这样叙述他的悖论的：阿喀琉斯在A点，乌龟在B点，阿喀琉斯跑向乌龟，目的是追上乌龟。可是一个问题出现了，当阿喀琉斯到达B点时，乌龟又前进到了C点，而阿喀琉斯追到C点时，乌龟又前进到了D点，这样下去分析，似乎阿喀琉斯永远也追不上乌龟！但是有常识的人都知道，阿喀琉斯很快就追上了乌龟！这个悖论又怎么解释呢？
　　芝诺的第三个悖论称为飞矢不动悖论。拿现在的话说就是射出的箭实际上是静止的悖论。这也有悖常理。
　　芝诺是这样说的：任何一个东西呆在一个地方，那它肯定不是在运动。那么飞速运动的箭显然在一个固定的瞬间是呆在某一固定位置的，那么这个射出的箭是不是就不是在运动，而是静止的？这个悖论也值得玩味，虽然它违背常识，但要搞懂它也还是要经过深思。
　　芝诺的第四个悖论是针对时间具有最小单位的断言。有三个人，在一条直线的三个点依次是A，B，C三点。让A点的人和C点的人一起一个向左，一个向右移动一个时间单位的距离，这样A点的人距离C点的人就增加了2个时间单位的距离。这就意味着如果要求A点和C点的人只是多增加一个时间单位的距离，那么只需要两个人同时移动半个时间单位的距离就够了。但是时间单位有最小值，怎么能有半个最小值的时间单位呢？这也是一个悖论。那么时间是不是没有最小单位呢？这在数学上也是一个难题，时间是可以用数字表示的，如果时间没有最小单位，那你怎么去表达这个没有最小单位的量呢？这一切看似结论非常奇葩，但是你要用数学的理论去化解它，还真不是那么容易。
　　我们中国古代也有庄子的所谓一尺之棰，日取其半，万世不竭。。不过后人似乎把这句话当做一个玄学的预言，没有真正地用科学的态度思考这个问题，所以中国历史后续就没有关于这句话的故事和思考了。
　　你仔细品味上面这些例子，你会觉得要陷入思维陷阱，似乎问题不可能被解决。
　　这些问题的解决，不是靠哲学家，虽然上面的例子有很多哲学的意味。靠的是数学家。所以说你不佩服数学家的天才还不行。
　　伟岗前面写过，这个问题最终是靠微积分来解决的。数学家的思维是这样的。虽然不可能用数字表示所有连续变化物体的性质，这是因为数字是离散的。不过如果我们能够求出任何瞬间物体性质的量，我们就解决了描述连续变化物体的问题。这句话怎么解释呢？
　　其实我们并不需要列出一个针对连续变化物体性质的表，我们只要列出任何你想要的瞬间这个性质是多少就可以了。打个比方，对于一个行走中的人，我们并不需要有一个这个人连续变化的速度和什么时间到了什么地点的连续信息，我们只需要求出任何时间点人在哪里，他任何时间点的速度是多少就可以了。也就是说由问问题的一方决定，你想知道这个人什么时刻在哪里，我们就可以求出并告诉你答案，这样就解决连续变化物体性质的描述问题。
　　针对芝诺悖论我们也一样，我们不去解释阿喀琉斯为什么追不上乌龟这个悖论，但是我们可以告诉任何有疑问的人，阿喀琉斯什么时候追上了乌龟，以及任何瞬间阿喀琉斯跟乌龟的距离。这个就是微积分的思路。
　　如果你硬要追问为什么阿喀琉斯追上了乌龟，那这个就是哲学问题了，数学家回答不了你。数学家能给你的，只能是一个科学有逻辑的答案，不可能是终极答案，这一点大家心里要十分清楚。
　　当然微积分不是凭空想出来的，它也有前生，一般数学史专家都认为微积分的前生是穷竭法，而阿基米德关于圆面积公式的证明就是用的穷竭法。
　　在了解阿基米德圆面积公式证明过程之前，我们先要知道两个事实。第一个就是圆周长跟直径的比是个常数，这就是我们所知道的圆周率。是常数早在古巴比伦时期（公元前1600年）以及古埃及时期（差不多也是公元前1600年左右）人们就知道了。人们的很多精力都花在计算的值上。这一点我们中国人也可以说在数学史上冒了个泡，那就是祖冲之的圆周率计算。那是在南北朝，公元460年左右。
　　古人那么热衷于计算，主要是很多应用场景都要用到这个值。日常建筑，划分土地等，甚至古代的天文学都需要的值。这不奇怪，可以说凡是涉及弧形的计算都要用到。
　　如果你较真，问有没有人证明了圆周率是个常数？这个问题还不好直接回答。一般而言，在古代大家认可是常数。由于是无理数，古代人估计很难严格证明是常数，因为初等的方法找不到的计算公式。
　　不过现代数学家用分析的方法找到了的很多级数展开公式，这些公式都跟具体的圆和直径无关，所以可以说这些公式都是圆周率是常数的严格证明（因为不管什么圆，圆周率都是由一个公式决定，所以它是常数）。
　　懂了圆周率，你还要知道这个事实，在几何原本里有个严格的证明，那就是两圆的面积之比等于它们直径平方的比。这个在几何原本卷十二的命题二。用的方法也是穷竭法。证明相当复杂，伟岗这里就不详述了，大家有兴趣可以查查几何原本。
　　有了前面两个预备知识，阿基米德就可以求出他的圆面积公式了。由上面，两圆的面积之比等于它们直径平方的比，可以得出圆的面积跟直径平方的比是一个常数。现在关键是要找出这个常数。有了这个常数，圆的面积公式就有了，也就是这个常数乘以直径的平方。
　　那么阿基米德是怎样利用上面两点得出圆面积公式的呢？这个篇幅也有点长，还是留到下一篇我们再谈吧。
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