台风中心没有风，引出一个数学问题

　　如果有人告诉你，在任何时刻地球上总可以找到一个点，此时此刻在这一点上没有风！你可能会感到十分惊讶，然而这却是事实。缩到小范围可能会使你更加相信这一点。
　　大家知道，台风是热带海洋上的大风暴，它实际上是一团范围很大的旋转空气。
　　我们常听到新闻中台风的消息，说是台风中心附近的风力达到12级。这是指台风中心附近的风速达33米秒，它相当于一列高速奔驰的火车的速度。
　　图源：pexels
　　更有甚者，如2019年第9号台风利奇马（超强台风），其中心附近的最大风速竟达52米秒。
　　可是，在如此猛烈的台风的中心，在大约10千米直径的范围内，由于外围的空气旋转得太厉害，不易进到里面去，所以那儿的空气几乎是不旋转的，因而也就没有风。
　　下面是一则真实的报道，这是一位美国的气象学家乘坐台风侦察机，穿入太平洋上的一个台风眼时，对目睹的情况所做的生动描述。它无疑能够加深你对台风眼这一奇异景观的了解。
　　不久，在飞机的雷达荧光屏上开始看到无雨的台风眼边缘。飞机从倾盆大雨颠簸而过以后，突然我们来到耀眼的阳光和晴朗的蓝天下。在我们的周围展现出一幅壮丽的图画：在台风眼内是一片晴空，直径60千米，其周围被一圈云墙环抱。有些地方高大的云墙笔直地向上耸立着，而在另一些地方云墙像大体育场的看台倾斜而上，台风眼上边圆圈有1012千米，似乎缀在蓝天背景上
　　看！在那宛如万马奔腾的怒吼的狂风中，果然存在着一个风的不动点。
　　不动点的现象在自然界、生活中随处可见。
　　日本东京工大田中富教授在《科学之谜》一书中，提到一件有趣的事：老师带着一批学生到一座寺庙去参观，这位老师把头伸到大吊钟里去观察钟的结构，有个学生很淘气，想吓唬这位老师，就使劲用撞钟木去敲击大钟，结果不但没有吓着老师和旁边的女同学，自己反而被震耳的钟声吓了一大跳。
　　为什么会出现这种现象呢？
　　田中富教授画了一张图并解释说，这与在一个碗里倒满水，然后用筷子敲碗边，我们可以看到波纹从碗周围向碗中心移动的现象是一个道理。此时中心部分波纹因互相抵消而消失。
　　图中的A、B、C、D、E实际上是声波的不动点。相反，敲钟学生站的地方F，恰是钟振动最大的地方，所以声音自然特别震耳。
　　下面你可以做一个有趣的游戏。
　　拿来同一个人的大小两张照片，把小照片随手叠放在大照片之上，然后你向观众宣布：小张照片上一定有一点O，它和下面大张照片与之正对着的点O，实际上代表着同一个点。
　　对此，你的观众一定会半信半疑。不过，当你告诉他如何找到这个不动点时，他们的一切疑虑都会烟消云散。
　　设大照片为ABCD，小照片相应为ABCD，延长AB交AB于P点，过A、P、A，及B、P、B分别作圆。则两圆交点O即为所求的不动点。
　　事实上由上图知：
　　这就说明了O点在大小照片中，所处的位置没有变动，即O为照片位置变换的不动点。
　　瞧！不动点现象是多么神奇，多么耐人寻味！
　　另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有您在此处的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。
　　地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的，也就是自转运动的不动点。
　　关于不动点系统的研究，始于20世纪初，1912年，荷兰数学家L。E。J。布劳威尔（L。E。J。Brouwer，18811966）证明：任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点。
　　这就是著名的不动点定理。
　　L。E。J。布劳威尔
　　对于大多数的读者，布劳威尔定理中的一些数学术语，无疑需要加以解释。
　　例如，粗浅地说，就是连续变换原先距离很小的两点，变换后的距离依然很小。至于n维空间，这是一个抽象的概念。
　　具体地说，直线是一维空间，平面是二维空间，普通空间是三维空间，等等。因而线段是一维球体，平面圆域是二维球体，普通的球是三维球体，等等。
　　布劳威尔定理的严格证明虽说很深奥，但有关布劳威尔定理的一些实例却是很有趣的。
　　拿一个平底盘和一张恰好盖住盘底面的纸，纸上的每一个点正好对应着它正下方盘面上的一个点。现在把纸拿起来随便揉成一个小纸团，再把小纸团扔进盘里。
　　那么，根据布劳威尔不动点定理，不管小纸团怎样揉，也不管它落在盘底的什么地方，我们可以肯定，在小纸团上至少有一个点，它恰好位于盘子原先与这一点对应的点的正上方。尽管我们说不准这样的点在哪儿。
　　以上事实我们可以给予如下说明：假设小纸团在盘面上的正投影为区域。显然，原纸片上与相对应的点一定位于的正上方，假设纸团里的这部分在盘底的正投影为区域，显然。
　　同样，原纸片上与相对应的点一定位于的正上方，而纸团里的这部分在盘底的正投影为区域，又有，如此等等，可以反复做下去，得到一连串一个比一个小的区域，，，，这些区域一个含于另一个之内，形成一层小似一层的包围圈。因此最后必然缩到一个点（或一个小区域），那么这个点（或小区域上的点）在纸团上的位置，一定恰好在该点的上方。
　　布劳威尔不动点定理问世后，引起了各国科学家的极大兴趣，他们对此做了大量的工作，取得了许多奇妙的应用。
　　举一个颇有影响的例子。
　　1799年，德国数学大师高斯证明了n次代数方程
　　至少有一个根。这就是著名的代数学基本定理。
　　尽管这个定理的名称，对于200多年后的今天似乎不确切，但对于200多年前以方程理论为主体的代数学，却没有言过其实。
　　今天，当我们研究了不动点理论之后，可以把方程f（x）0的求根问题，转化为求函数（x）f（x）x的不动点。
　　由于方程f（x）0的根不可能超越复数平面的某个半径很大的圆域，又函数（x）显然是连续的，因此在这个大圆域运用布劳威尔不动点定理，知道至少存在一个点x，使得
　　（x）x
　　即f（x）xx
　　也就是说，方程f（x）0至少有一个根。看！一个在代数学上起着巨大作用的定理，竟如此轻松地证明了。
　　不过，对于不动点理论，科学家们似乎感到不尽如人意，因为这个理论只告知不动点的存在，却没说不动点在哪里。这个问题困扰了他们达50年之久，直至20世纪60年代后期，情况才有了转机。
　　1967年，美国耶鲁大学的斯卡弗教授，在不动点由未知转向已知方面，取得了重大突破。他提出了一种用有限点列逼近不动点的算法，使不动点的应用，取得了一系列卓越的成果。
　　有趣的是，对不动点理论做出如此巨大贡献的斯卡弗本人，却是一名专攻经济学的学者。数学上的理论，使斯卡弗和他的同行们在经济学领域犹如猛虎添翼，取得了累累硕果。
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